三维无界元和节理无界元.pdf

第8 卷 1 9 86 第5 期 YAN TU 9 月 年 土 岩 工 程 G ON GC H E NG V o l 8 。 报 学 X U E BA O S e Pt 。 , No 。 5 1 98 6 , 三 维 无 界 元 和 节理 无 界 元 葛修 润 谷先 荣 丰定 祥 中 冈 科 学院 武 汉 岩 土 力 学 研 究 所 提 要 本文 给 出三 维 十二 结 点无界 元 和 十 结 点 节 理无 界 元 模 型 及 其 整 套 算 式 在 这 种 单元 应 用 中 的 有 关 问题 , 例如 衰 减 函 数 、 衰 减中心 等 等 , , 并结合算 例 讨 论 了 。 , 、 在无 限 域或 半无 限 域 岩 土 工 程 问 题 的 有 限 元 分析 中 纳 入 无 界元 节 理无 界元 这 类特殊 单元 , 只 要截取有 限 。 条件 因此 甚 至很 小 的 计 算 范 围 , 就 能 满足计算 精度 要 求 和 符 合 无 穷 远 处 位移为零 的 边 界 “ 这 就为岩 土 工 程 通 常 的 有 限元 分析 中 计 算范 围 , 一 种 有效 的 解 决手 段 , 一 稳定 性 分 析 题 的 灵活 、 , , 实 用 和有 效 的 手 段 工 程 问题 , 。 仅仅 因 边 界 约 束 不 同 计 算 范 围 究竟 多大 才 合适 , 边 界 条 件 是 无 穷远 处 的 位 移 为 零 取 得相 当大 很不 经 济的 。 , 。 因此 岩 土 工程 实 践 和 理论 分 析 元的 报 导 和 算 例 另外 , 、 会 导致 单 元 。 r“一 ‘, 可 参 看文 献 众 所周知 , 这 种方 法 往往 存 在着 如 何恰 当 地 截 取 计 , 对 于 同 一 个 有限 元 网 格 。 式 用 于 无限 , 很 小的 计 算 范 围 小 离散 网 格 范 围 的 优 越性 , 从而 减 少 方 程阶 数 ” 。 可见 , , 针对 同 一 个 , 其 真实 的 即 使其计 算 范 围 , , , , 这是 。 1 ’ 例 如无 界 元 关 还很 少见到 采 用 无 界 为 了 摸拟 这种 情 况 , 研究 。 , 节 约机 时 , , 并 给 出 了相 应 的整 套计 算 公 采 用 这种 特 殊单 元 就可 取 有 限的甚 至 。 这 既 能 使计 算 结果 精确 , 又可缩 在 提高 计算 精 度 和 经 济 效 益方 面 均 有 明 显 而 且 能 使 在岩 土工 程 问题 通 常 的 有 限 元 分 析 中 件 不易 确 定 的 困 难 迎 刃而 解 施 , ; 尤 其 对 于三 维 问 题 而 在 三 维有 限 元 分析 方 面 实 现 无 穷 远处 位移 为 零 的 真 实 边 界条 件 , , 迫切 需 要研 究 特 殊 单 元 半 无限 域 边值 问题 的 三维 有限 元分 析 , 同样 的 材 料 特 , 许 多岩 土 工 程课 题 节点 数大量 增 加 本 文 提 出 了 三维 十 二 结 点 无 界 元 和 十 结 点 节 理 无 界 元 模 型 、 例 如地 下 洞 室 围 岩 应力和 有限元 方 法 是 分 析 岩 土 工程 问 , 基 岩 中赋 存 展 布很 长 的 软 弱夹 层和 裂面 和 建 立 节 理 无 界元模 型 看 来 也是 十分必 要 的 。 。 而 采 用 有限 单 元 模 型 就 难 以 实 现 这 一 点 , 于二 维 向题 无 界 元 分 析 目 目 前 亦 是 众说纷 云 的 离 散范 围 大 , 。 计 算 所 得 的 位移 和 应 力 场 就 可 相 差 甚 远 , , 。 事 实上 况且 。 ” 一J J 前 但 对 上 述边 值 问题 , 。 边 界 条 件 不 易 确定 的 困难 提 供 了 经 常 遇 到 无 限域 或半 无 限域 问题 算 范 围 和 合理 选 取 及 简 化 边 界条 件 等 问题 性 和 荷载 条 件 、 坝 基 和 边 坡 的抗 滑 稳 定 性 计算 等 等 , 、 而 且 它 在 提 高计 算 精 度 和 经济 效 益 方而 均 有 明 显 的 优 越 性 在岩 土 工 程 有 限 元分 析 中 , , “ 经 常 遇 到 的 计算 范围 和 边 界 条 本文提 出的 特 殊 单 元是 一 种 十分 经 济 , 极 其有 效 的 措 。 无 界元 (包 括节理 无 界元 ) 的纂本 思 想就是 适 当 地选 择单元 形 函 数 使局 部坐 标 互* , 1 时, 10 岩 整体坐标 趋 向 无 穷 大 位 移趋 向零 , 土 、 程 学 1 98 6 报 从 而 实现 计算范 田 伸 向 无限 远 ; 合理地 选 择 位 移 函 数 , 从 而 实 现 无 限 远 处 位 移 为 零 的 边 界 条件 。 使 亡。 1 时 , , 下 面将 详 细 论 述 十 二结 点 无 界元 和 十 。l 三 维 十二 结 点无 界元 力 学分 析 三维 十 二 结 点 无 界元 模 型 如图 1 所 示 与六 面 体二 十结 点 等参 元 配 合使 用 年 。 结 点 节 理 无 界元 的 力 学特性 及 其 应 用 二 工 场少 它可 , 。 。 (一 ) 无 界 元 的形 函 数 十 二 结 点 无 界 元 几 何变 换式 为 x 其 中N 为形 函 数 , = 艺N ‘( 图 1 三 维 十 二 结点 无 界 元 雪 : , 夕 = 艺N (省 。 之 = 叉N (占 。 , ‘ : 可 这样 选择 , , 亡)x , 乙) 夕‘ , (1 ) 亡): ‘ , : 当 亡成 0 时 二 ‘= 二 ‘= 一 当 乙> 远处 式 中 氛 , 0 叭 , 一奋 十 、 ‘二 一 二, = ( 1 + 。‘: ) (1 + , ‘, , ; (: ‘: + 。 。 一 : 一 2 ) 一 (1 !!e s e s l .、 几 … + : : )( 1 : : )( 令 卜 ( 专 1 , 3 , 5 5 7 / l圣!l = 么 + 1 ( 1 + : ‘: ) ( ) 。。。 十 。‘, 卜 ( ‘一 名 “, i= 9 一12 ,“ = 2 , 6 。2 )“ = 4 , 8 (2 ) 时 — = l N 一 科 t)( 1 N ‘二 丽汁丽 ( 1 + N 。= 0 一 结 点 i 的局 部 坐 标值 上 述 单 元 形 函 数 满足 连 续 条件 , 一 十 批 ) ( 1 + 刀‘刀) 雪 一 : ‘: ) ( 1 = 9 t w lZ = 2, 45 658 + 刀i 珍) 工 , l |I 丹 了卜 l ‘ L O 6 月 d 叹 , l、 ., (3 ) 。 且 当 二, 1 时, 实 际 单元 中与它 相 对应 的 界面趋 向无 穷 第 5期 : 葛 修 润 等 三 维无 界元 和 节理 无 界元 (二 ) 无 界 元 的 位 移 函 数 十二 结 点 无 界 元 位移 变 换 式 为 “ 艺M 二 s e ‘。 ‘ 尸一 llw l e l s e | 东一 1 艺M = ? .v ‘ i 一l M 式中 — 。 这里 的场 取 “ 艺M 。 = 二 . ‘ , M ‘ M ‘f = 匀 。 (令 ) 时的 从 表 达式 (5 ) 要求 , 称 为衰减 函 数 ‘ 衰减 函 数必 须满 足 『 我 们取 (令 ) (灼 二 ‘ 式中 (令 ) 即 由 式 ‘2 , 给 出, , 为 了 得 到 无 限 远 处 位移 为 零 的 边 界 条 件 , r — , 衰 减半 径 “ 。 r ‘= 亿 戈 ‘ + 夕‘ + 么 名 亿 戈 么+ y 名+ 一 。 (令 ) 一 。的 (6 ) , 介 则有 — 结 点 ‘的 衰减半 径 z ‘, 。 (7 ) \(篡 一 ) (萦 ) (索 ) = = , ‘ 1 ) 指 计 算 点 到 衰减 中心 之 间 的 距 离 如果取 总 体 坐 标 的原 点作 为 衰 减 中 心 r : , 位移 函 数 根 据 无 界 元 的 基本 思 想 我 们 选 其 为如下 形 式 “ ’ 之2 N 。一 · N ‘一 ’ · ’ (8 ) 这 样 选 择 的 位移 函 数既 满 足 连 续 条 件 界 条件 , 且能实 现 当 r o c o 时 , 位移 分 量 u v , , 。 , o 的边 。 显然 , (令 ) 衰 减 函数 ‘ 还 可 以 取满 足 无 界 元 的 形 函 数 和 位 移 函 数 是 不 相 同的 移 函 数 明 显 的 特 点是 满足 连 续 条件 的 同 时 , , 一 时 , 它 趋 向 零的 其他 类 型 的 函 数 因此 无 界元 不 是 等 参 元 。 。 无 界元 的 形 函 数 和 位 。 满 足 无 穷远 处 边 界零 位移 的 要 求 (三 ) 无 界 元 的 单 元 刚度 和 应 力裹 达 式 无界元 的 单 元 刚度 分 析和 应力表 达式可 根据等参有 限 元通 常的 步 骤 进行 , 并 可导 得类 似 土 岩 工 程 学 1 98 6年 报 的表 达 形 式 只 说 明一 点 无 界 无 物 性 矩 阵 〔D 〕取 用 弹性 物 性 矩 阵 因 为 无 界 元 一 般 安 置 在 卜线 性 特性 工程 外 围 区 域 这并 不 是 我 们 关 注的 要 害 部 位 可 不 考 虑材 : 。 , , , 三 、 十 结 点节 理 无 界 元 特性 分 析 十结 点 节 理 无 界 元 如 图 2 所 示 , 单元 可 与 三 维 十 二结 点 无 界 元 节理 元配合 使 用 。 俏 、 它 属 无厚 度 , 十 六 结点 等参 。 (一 ) 节 理 无 界 元 形 函 数 十 结 点 节 理 无 界 元 几 何 变换 式 为 x 图2 十 结 点 节理 无 界 元 艺N ( 省 刀 ) = 1艺 i x ‘ , ‘ 5 , 艺 肠 ( 舀 刀 )2 1 二 其 中形 函 数 的 选 择 (9 ) N ‘(占 叮 ) y ‘ 应 考 虑 到 和 它 配 合 使 用 的 单 元 相 邻 边 界 的 协 调 问题 , 。 当 刀毛 0 时 二 N 一 牛 (: + : ‘: ), (: ‘: 一 , 1 ) 一 ‘= 1, 3 、 } ‘ 二 一 1 ( 一 约。 、, = 一 一 (1 、 弄 } 蚕, : ) ( : (1 0 ) 一 , “) = 4 一 5 ‘ 当 刀> O 时 1 Iv ‘ = 一 N 0 : 二 ‘v , 二 乏而 一 1 ‘ ‘ ;叹 ! l ‘ e 、 . ! . ‘ ‘ 三 丽 叹1 十 ‘t 互) 刀 (1 1 ) 1 = 1 + 乏 石 二劝 戈 互“ ) 、 这样 的 形 函 数 是连 续 的 , 满 足 使 其 和 十二 结点 无 界元 而 且 当 刀、 1 时 , 实际 单 元 相 应 边 界 趋 向 无 穷远 要求 , (二 ) 节理 无 界 元 的 位 移 函 数 节理 无 界 元 顶层 与底层 间 相 对位移 记为 { 刁盯 4 , 5 十 六 结 点 等参 节理 元 相 邻 边 相 贴 合的 。 第5 期 : 葛修 润 等 三维 无界 元 和 节理 无 界 元 J 1念 ( ) M 」{ , ) Zl { ‘“ d , = “ = “ “ (1 2 ) ‘ 〔 、刀 田 拍} 式中 ‘ — 单 元 结 点位 移 列 阵 ; 〔M 〕 — {d } = ‘ 厂一 M1 { } 〔M 」= [ 0 M 0 一 L 0 0 其 中M ‘为位 移 函 数 。; , 口; , , 一M 0 · · : 0 ‘ · · 一 万 …… · · 类 似式 ( 5 ) = 。 田2 … … u , 。 v: 0 o 0 … 一 0 ; M ‘ M ‘f u: 山: , 位移 变 换 矩 阵 M o M 0 0 o 0 0 一 万 。 T 。 : 。〕 。: 。 o M 。 0 : , 0 … …M 6 0 ’ 万 · · M … 0 S ’ …… o , M 。 可取 为 , (令 ) 一 M ‘ 取 用 刀 落 。 时 的 形 函 数 N ‘形 式 , 即 由 式 (1 0 )给 出 , 显 然 这 种 位移 函 数既 满 足 连 续 条 件 , 。 衰 减 函 数 和 衰减 中 心 同 前述 也 能 实 现 无 穷 远处 零 位移 的 边界 要 求 。 。 (三 ) 节理 无 界 元 的 应 力 , 一x , 对 于 局 部坐 标系 o 交) y 尸: 产 (了 轴 为 o , 单 元 相对 位移记 为 { J 夕 } , ‘ (J }气J = 〔L 〕 式中 — 坐标 转 换 矩 阵 ‘ I‘ , 。 ‘, ( ‘= ‘a , = 八1 : } I m : n : 3 t 3 n ”3 , 3 ) 介场 同理 , ’ : — L 二 占 ‘ (1 3 ) = a r 仁D 月 也取 弹性物 性 矩 阵 . 局 部坐 标 轴 二 ‘ (1 4 ) , y ‘, : , 的 方 向 余弦 。 、 }一… : 、 d , 节 理 无 界 元 应 力 表 达 式如下 / L j 的z 1 , 2 n ‘ “ 田, 1 其中 x, 和 y ’ 相互 正 交 并 与 了 轴 正 ) 〔 〕‘J , 〔 〕〔对 〕‘ , } _ “‘ l: [ L 〕= , 。 J “ ‘“ d ’ 点 微 元 面 的法 向 〔D , 〕‘ “ “, } = 〔D J 〕〔L 〕〔、 : { “} · (1 5 ) 岩 .. ; ! D J J一 = J r . K 土 0 , K K : 0 , — 节 理 的切 向刚度 系 数 , K 优 得 注 意的 是 1 匀a 6 年 报 0 O 式中 学 程 土 。 K . (1 6 ) 一 节 理的 法 向刚度 系 数 当节 理达到 极 限 压 密 状 态时 K 应 取 很大的 值 , 。 。 。 (四 )节 理 无 界 元 刚 度 矩 阵 单 元刚 度矩 阵 由 变 分 原 理 可 得 到 〔K J 〕 一 I〔1 : 1 , 〔M 〕T 〔L 〕· 〔D J 〕〔L 〕〔、 〕了 二 G 一: 么 二 希 ’ ’ / Ox \ / Oy \ 吸 暇三 一 】 十 ‘ 二兰一 l \ O刀 / \ O叮 / “ G 以 (1 7 ) 2 . 么 . = 一 饭 “ ~ 、: ‘。 / O劣 \ / 6y- \ + / 02 \ 万一 】 十吸 】 吸 天衬 , 反 、 时 / 、 时 / 、 时 , E 式 ‘ 中 丫 r’ 2 。 _ O劣 ax 厂 石琳 一二厂 一 一 0 9 . ~ 了 oy 一 口口 人卜 0 9 一 - - 十 ‘ ay 一 / \ . “ , 石二 O T I ’ , ~ 宁 O之 \ 二云 l 0刀 / “ 一 一 az 污 下 0 9 02 石二 一 0 ,I 有 关 节 理 等 参 元特 性分 析 请 参 阅 文 献 〔5 〕 节 理 无 界 元特性分 析 和 节 理等 参 元有 许 多 共 , 同 之处 , 差 别主要 在 于 形 函 数 和 位移 函 数 方面 、 四 。 算例 分 析 【例 1 】 受 均 布 内 压 力 的 球 形 洞 室 问题 1 0 k Pa 。 其材 料 E = 2 0 M P 由 于 对称 表 1 。 a , v = 8 区域 , 仅取 1 / , 内径 为 Z m , 无限 域 内 一球 形 空 洞 0 167 . 二 。 i卜 算网 格 见 图 3 计 算 方 案 见 一 , 表 中F E 代 表 采 用 通 常 有限 元 即 仅 包括等参 元 (或 加 。 上 节 理等 参 元 ) 。 = 采用 a 1 或 2 代 表 网 格 外 层 的 无 界 元 (亦 (令 ) (韵 = “。 以下 各例 亦 如 此 该 问题 的 衰减 中 心 取 在坐标 原 点 计 算范 围 仅 取 4 4 可 以看 出 , . sm , = (令) 一 可 包 括 节 理 无 界 元 )的 衰减 函 数取 , , 承受 均 布 内压 力 q , , 一 。 即球 心 (令) 或 图 3 球形 洞 周计 算 网 格 图 。 也就 是 只 取 图 3 中内 部二 层 单 元 所 得 主 要 计 算 结果 绘 于 图 4 即 使仅取 一 层 有 限 元 加 一 层 无 界 元 在 这 么 小 的 计 算范 围 内 , 已 经相 当 接近 理 论 解 16 ’。 2 题 ) 却偏离 理 论 解 较 远 0 然而 , 在 同 样 范围 内 , 从图 2 题 的 计 算 结果就 0 采 用 通 常 的有限 元 的 0 3 题 (结 点 总 数 还 多 于 , 。 计算 范 围 取 到 7 o m (即 图 3 所 示 计 算 网 格 ) . 。 , 。 计 算 所 得 的 洞 周 径 向位移位 示 于 图 5 。 图 5 第5 期 : 葛修润 等 三 维无界元 和 节理 无 界元 裹1 … l … 一 一 等 参 元 (个 ) … 2† = a 一 此 一 1阳 = a - 一Œ ” 一 - _ _ _ _ 3 无 界 元 (个 ) … _ _ _ … 一 { 丝 _ … … 二 …一 { … … 一」 _ 结 点 。“ _ _ _ 旦 一 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 56 _ _ _ 一 3 3 _ _ _ _ … … 尸 _ 3 _ 一 一 一 二 _ : _ _ _ _ { … 一 Jlll t.片 l e卜 w l _ 2 题 (J 川 题 ()3 题 1 :亏 中 由 于 在有限 部 位 图 4 和 图 5 还表 明 。 : 朽 弓 衰减 平 径 ’ n 图5 ” · n 飞 球 形 洞 周 径 向 位移 而 通 常 有 限 元 的 解 ( 0 6) 题 与 理论 解 相 比 较 却 仍 有 距 离 致 使通 常 的 有 限 元 解( 0 3 题 和 06 题 , 。 . 尤 其0 3 题 的结 , 。 不 同 的衰减 函 数 对 计算 结 果 虽 然 有 影 响 但 无论取 , = f 或 令 无 界 元计 算 结果 精 度 都高 于 仅 用 等 参 元 的通 常有 限元 解 对 于 此 例 取衰 减 函 数 。 ’ , 川() ) = ’ 的 函数 飞 、 题 附 ;题 球 形 洞 周 径 向 位移 果 ) 总 是 低 于 精 确 的 理论 解 , 1 }j 一 众 宜 退 忿 作 了人 为的 固 定 约 束 , () 5 题 ” r 0 5 题 计 算 值与理 论 解 极 其 吻 合 , 理论解 5 衰减 半 径 图理 ! 理 论解 所得 的 结 果是 最 理 想 的 。 从该 问题 的 理论 解 亦 可 知 , , 它 的径 向位移 是 。 此 例说 明 采 用 无 界元 处 理 无 限 边 界 问题 是 精 确 和 行 之有 效 的 , 地减 少 了 结点 总 数 而 且 采 用 无 界元 就 相 应 , 。 这 个 优 点 也 是 值 得注 意 的 , (匀 “ 【例 2 】 集 中荷 载或 方 形 均 布荷 载 作 用 下 半 无限 地基 问题 半 无 限 弹 性地 基承 受集 中荷载 40 k N 或 均 布荷 载 1 0 k P a 计 算只 取 1 / 4 区域 。 计 算 网 格如图 6 和 图 7 所 示 算方法 的 多 种分 析方 案列 表 于 2 都 用 图 6 计算 网 格 续 弹性 体 。 E = 伸的 软 弱 结 构面 。 其K , : = , = 38 . 0 . 其 中03 题 使 用 通 常 有限 元 3 。 后六 个题 k P /c m s a , , X 4m “ 该课题 相 应于 不 同 荷 载 条 件 无界 元 衰 减 中心取 在 坐 标 原点 5 0 M Pa 。 。 。 承 载面 积 4 , 。 , 、 。 因是 对 称的 介质情 况 采 用 图 7 计 算网 格 。 、 , 计 除此 题 外 表 中前 五 个 题 对应 的地 基假 定 为 均 质 连 假 设地 基 在 Z 极限 压 密 前K , = 13 5 二 Z . m 的深处 , 存 在水 平 无 限延 k P /c 。 0 。 该结 构面 以 4 个 a 岩 才月丫 ! 洲 拜 女 }卜 习 创 〕 !挂日会 才 巴 r / 皿 仁{压奋}』图了 厂 } 理 _ }日L 飞 {l 学 1 9 86 年 报 尤 界元 或有 限 儿 一限 , C 子 ’ 程 二 土 - 了 I角 } , ” 厂 / 一 二/ ~ 一 - 爪- 了 辛 二 琴、 / _ 一 一 / ’ / ‘ 龙 卑 儿 或 有限 儿 图6 图了 计算 网 格 有 限元 网格 表 2 一 题 号 ! 方 法 a ‘ } … E 一 … 一 a = 等 ( 无 结 点 总 数 }荷 载方 式 牵 …: 辈弃 … 12界个 元一 节理(无个界元 ) … { 1 2 F a = … … ‘ 。元 元 节 8 } 8 一一 …- 27 { … 一 { 8 一 … 一竺一上里过一二 二二= 二 。, J { … E { … { “ }万 a = 1 a = 2 { … { ! ; } F a = a 13 ) = 二 1 2 . 8 8 2“ 8 8 20 . { 4 … 1 … … { 4 ” 一 l 集;。 一 , J { 集 } 10 0 均布 12 1 00 均布 集中 l.! 一 1 26 集中 18 4 集中  注 一 4 均布 … 8 “ 12 厂 4 4 205 … ‘ , ‘”。 … … 8 { 集乎 100 均布 _ … 18退 节理 等参 元 加 4 个节 理 无 界 元 或 8 个节 理 等参 元 模 拟 } 均布 。 01 一 0 3 题模拟 同 一 个 课 题 即 集 中荷 载作 用 下 均 质 弹性 地 基 问题 计 算所 得 的 沿 二 轴 和 二 。 , 轴结 点的 沉 降值 分 别 绘 于 图 8 和 图 9 结 果 十分 接 近理论 解 。 , 02 题 ( 即 采 用 无 界元 。 参有 限 元 ) 的 结果 偏 离理 论 解 远 些 述 三 题 的 规律 远 = a , 2 ) 的结 果 也 能 令 人 满 意 。 1 , 的 计算 0 3题 ( 采 用 通 常 等 。 当考 虑地 基 中 存 在水 平 软 弱结 构 面 时 , = 从 图 上 不 难 看 出: 01 题 ( 即 采 用 无 界 元 且 a , 即 01 ) 题 与 0 2 ) 题 结果 相近 相 应 于集 中荷 载 方 式 的 0 1 ) ~ 03) 题 , , 有类 似 上 采 用 通 常 有限 元的 0 3 ) 题 的 结 果 和 它 们相差 较 。 承 受 均 布 荷 载 的 计 算 结果 , 共规 律也 与集 中 荷载 的 相 类 似 取 二 种 不 同 衰 减 函数 时所 得 计 算 结 果 是 相 近的 “ ” 足 在有 限 边 界 上 人为 固定 约 束 造 成 的 。 , : 采 用通 常 有限 元 由于 篇 幅关 系 , 对 同一方案 , , 采 用 无 界元 所 得结果 总 是 最 小 这 里 就 不 将各题 结果 都 - 。 , 这也 一给出 。 第5 期 : 17 葛修润 等 三 维无界 元 和 节 理无 界 元 ‘ 未曳 : 距离 m , ‘ 一 一 子厄仁少幼 一 2 - r m . 6 4 ”户 二 任 剑 过 邵 奎 0 ,]门 丹I 。 仅将 1 1 和 n — 理 题论 解 01 川 题 图8 J 题沿 之 4 刀沦解 — 二 父 † 划 冬 逆 . f Z 题 n3 题 幻 8 . 此题 。3 邀 图9 地 基 沉 降值 二 轴 土 结 点 的 沉 降 位 分 别 示 」图 1 0 。 图 10 的 曲线 表 明 轴和 地 基下 是 否 含 一 水 平 软 层 一 : 二 地 表沉 降值 图1 1 、 线 十分 接 近 但 软 层 顶 层 及 共 上 部 结 点 沉 降 量 明 显 增 大 图 1 表 明 。 Z m ) 软 层 的 存 在 使 沉 降量 明 显 增大 一  ” Ž ” 三 世 岑 书 裂 : 阴月 门川 只, 沪 / 在 均 布 荷载 范 围 内 ( 二 = 。 也充 , 牡_ 华 : 少 尸夕 ‘ 刁 ‘ / - { , 两题 的 曲 。 一 一 了尸 . , 这 都 是 因 在 法 向 应 力 作 用 下软 层相 对 压 密 的 缘 故 分 表 明 了 地 华 中软 弱 结 构面 对地 基 沉 降 的 谊 要 影 响 深 )泛 这两 题 的 左 别 汉 仪 在 于 软 层 对 其下 部地 墓 沉 降 位 影 响 不 大 。 。 。 曰一一 ! 冷 岁 到 兴 11 题 岁 ] IJ题 / 图1 0 该 例 计算 结 果 表 明 , 解 [6j 也 具 有 类 似 函 数 形 式 时 , 其结 果 最 理 想 。 图n 地基 沉 降 曲 线 衰减 函 数 取 f 。 = 为好 该 问题 的 布辛涅 斯克 ( ”。 u s s i o e s q ) 理 论 。 一 今 该 例 又 一 次 证实 了 衰 减 函 数 的 形 式 和 理 论 解位 移 函 数 的 形 式 一 致 由 此 例 亦 证实 了无 界元 方 法 的 精确 有 效 性 虑 结 构面 对 变 形 和 稳 定 性 的 控 制作 川 是十 分 必 要 的 。 显而 易 见 界 元 对 于 岩 土 力 学 和 工程 问题 的 分 析 研 究 具 有 一 定 的意 义 【例 3 1 岩 的 泥 化夹 层 积 60 0 5 o m , 以 及 对 于岩 土 工 程 问题 , 本文 提 出 的 节 理 无 界元和 无 。 剪 切 面 为 红 棕色 粉 砂 质 粘 土 , 考 。 软 弱 夹 层 现 场 剪 切 试 验 的 三维 分 析 试 体 和 基 岩 属 下 白 噩 系 红 色 砂岩 x 地 表 沉 降曲 线 “。 , 性 状 比 较软 弱 K 。 : , 百 二 1 6 G Pa 。 二 2 . . 6M P c / a m = a , 试 体 上 部有 均 布 荷 载 q 。 S M P . , ” 二 0 . 3 极 限 压密 前 K 承载面 积5 0 x 9 S M P a /c 。 。 = 30 c m . “。 。 剪切 面 试 体 左 侧 有推力 T , ) ) 或 呈 倾 斜 向( 图 1 2 ( b ) ) 该 算 例推 力 取 图 1 2 ( a ) 沿宽 度 方 向 均 匀分 布 推 力 呈 水 平 向 ( 图 1 2 ( a 。 , : 方 式 其 合 力 为 24 k N 所 论 问题 对 称 于 。y 平 面 , 。 , , 本 问题 的 二 维 有限 元分 析请 参 考 文献 〔7 〕 。 故 计 算 区 域 只取 x ) G 一侧 。 。 如图 1 2 ( ) 。 土 工 程 为 了 对 比起 见 丈生 两 方 法 的 单元 67 一 匀 sk P . , a 。 , 为 一 寸3 i k P a 最 小值 为 一 3 6 4 k P a , 应力 。 4 0 k P a 相比 , 一 最 大值 为 , 一 2 9 k P 4 . a , 在 左 端 角 点 上 剪应 力 波 动 不 超 过 16 % K 和 K 都 比 较低 的 缘 故 。 ‘ 与平 均 法 向 %之内 波动范 围 在 9 。 从 图1 4 可 见 剪 切 应 力 亦 具周 边 高于 内部 的 特点 它 们 与平均 剪应 力 80 k P a 相 比 , 。 , 计算 网 络 和 荷 载 方 式 示 意 图 这 是 因 为 软层 性 状软 弱 、 的 趋 势 沿 少 轴 方向 波 动 大 些 法 向应力 最 大 值 一 。 结 点数 。 节理 元 而 且 左 端 (即 推 力 施加端 )大 于 右端 表 3 给 出这 。 布示 于 图 1 3 和 图 1 4 法 向 应 力 有 周 边 高 内部 低 少厂上! 日日人 图 12 、 , 采 用 本文方 法 的 01 题 所 得 剪 切 面 上 应力分 } 少口四口口 咭 { 以 门 口团「口 I 我 们 采 用 本文 所 提 的 方 法 , 和 通 常 有 限元 方 法 分别 作 了 计算 厂内 j J 1 98 6 年 报 学 。 。 , 最 小 值 为 软 层 应 力分 布 尚 均 。 衰 3 _ _ _ _ _ 乡 _ _ _ 号 _ _ _ _ _ _ 粤 无界 个 { 兰 粼 书 …转 椒 也 { 竺 { { { ! … 一 { _ _ _ _ . _ _ _ _ 一 _ _ 一 乙二 了一 , 尸 汇二 7 r ~ 苍 t一 日 . 2 , 一7 . . l碑J _ _ _ _ _ 元‘ , 8 _ 5了 _ 8 !痴 总“ ( … “, 7 { 83‘ 刁r ! r二 压‘圣; 州 r飞 r : 尸 一洲 州丫 _户 ]Z 】了 门 图14 对应 的 结 点 的绝 对位移值 都 比01 题的 略 小 剪 切 面 切 向应力 分 布 图 。 。 如 前所 述 , 还 是 采 用 无 界 元 01 的题 更 合 理 , 。 但 这两 题 一 一 这 也 是 因为通 常 有 限 元法 在并 非 无 穷 更 精确 。 而 且这 从 而 解 题 速 度 比 01 题 快许 多 (两 题 的 计 算机时 相 差 6 倍之 多 ) 。 由此 可 远 处 将 边 界 给 予 固 定而 造成的 总 体而 言 见 无 界 元 和 节 理 无界 元的 经 济实 用 价 值 、 。 五 、 结 语 本文 给 出 了 三维 无界 元 和节理 无界元 模 型和 计算 公 式 。 几 个 算 例 结果 表 明 : 无 界 元 理 无界 元作 为 有限 元分 析 中的 特殊 单 元 类 型 将 为 解决 岩 土力 学 和 岩 上 工 程 中 无限 边 界 问 题 指 出 了一 条很 好 的 途径 1 限 、 . 无 界元 、 _ 二r 采 用 通常 有限 元的 02 题 所 得 弱 面 应 力 和 相对 位移 的 结 果 与 01 题 的 相接近 题 结点 总 数少 3 14 个 一 一 夕 牙三 L l~ 一 - , 产 石 了 剪 切 面法 向应 力 分布 图 , 丝 砰乒 乒曰 只 比州尸 尹 二尸 曰它 】 2 以 一 节P , {匕 夕 , _ 元 12 4 02 图1 3 ” 、 、 节 半 无 限域 。 节 理 无 界元可 以 实 现无穷 远 处 位移 为 零的 边 界 条件 半 无限 域 岩 土 力 学 和 岩 土工 程 问题 的 很好手 段 。 , 因 此 它们 是分 析具 有 无 这 种 单元 概念 清 楚 , 与 等 参 元 相比 较 , 第5 期 : 葛修 润 等 兰维 无 界元 和 节理 无 界元 其差 别 在于 选 择 不 同 的 形 函 数和 位 移模 式 元是 简 单 易行 的 。 它能 改 善 计 算 精 度 2 算 例表 明 : 采 用 无 界元 . 元解 数 住 。 从这个意 义 上 说 , , 结 果 还是 略 有差 异 的 。 因此 节省 计 算 时 间 无论 衰减 函 数取 , . 采 用 本 文建 议 的 单 元 作 法 是 在边 界 上 施 加 荷 载 或位 移 无界 元 节 理 无 界 元时 的单元 , 布 置 在计 算 区 域 外 围 这时 似 乎 可 视 外 围 区 域容 重为 零 后 , , 对有些 情 况 , 如 何处 理 初 始 应 力 场 的 问题 。 一 l 之后 a 程组 新 的 解 法 I 到 杨家 岭 、 冯 树仁等 同 志 的 帮 助 , 特此 致 谢 C , A . 〔2 〕 B e e r , G . In fin i te D o m a i n , E l c a v a t io n : G e o m e e h a n ie , 〔3 〕 B e e r , V ol G 17 . , 吕明 〔5 〕 谷 先荣 . a n 、 C o m Pa n v 〔7 〕 G No 1 . , J , L . P P 43 5 2 . , 葛 修润 , X iu r u n . 1 95 2 一 . , 19 53 , an In t . J fo r . 1 9 81 P P 2 29 2 45 〔8 」 袁 建 新 、 王 可钧 、 杨家 岭 〔9 〕 葛修 润 、 杨家 岭 , 双列 块法 . , 1 9 8 5 年第 2 期 。 。 诚然 , 采 用 无 界元 。 计算 和 文 稿 准 备 过程 中得 , the o f S ha n g ha i F in i te In te r n a t io n a l C o n fe r e a e e C h in a , E le 位 e n t . A n a ly s i, N u 团 妇r ie a l a n d E le m o n t , In t U n de rg ro u n d o f A n a ly t ie a l M e t h o d , in . , . J . Nu m . M e th Engng 二 . 岩 上 (8 2 ) 1 8 , J . N . , , , 水 电部 水 利 水 电科学研 究 院 岩 土力 学 T he o r y o , f 1 9 8。 年第 2 期 E la : t i e it y , 。 。 Me g ra w 一 H ill Bo o k . , . , 一 , 。 。 G o o d ie r d 由 于 本 文建 议 献 In fi n it e D o m a in N o n lin e a r A n a ly : i, E n g in e e r in g , V ol 5 1 98 2 , 等 参数 节 理 单 元及 其 应 用 , 5 , , 文 E le 迅 e n t , in 无界 元 及其 在岩 土 工 程 中的 应 用 〔6 〕 T i扭 。 : h e n k o e V o l7 d M eek 1 98 1 , . , 当采 用 。 0 小 型计 算机 上 完成 的 2 In te r n a t io n a l J o u r n a l fo r , 。 增 加 无界元 和 节理无界 元 特殊 单元 功 能 以 及方 , P r o e e e d in g , A ugu :t , 32 一 考 N e w D e v e lo p m e n t , , F i n i te E le m e n t M e t h o d , on 「4 〕 . 。 常规的 , 。 参 [ 1 〕 B r e b b ia 必 须加 以 改造 , 这 是 对 上 述前 提 下 的 一 种 处 理 方式 在 中国科 学 院 武汉 分 院 P E 目前 有关 外 围 的 初 始 或 次 生应 力 问题 可 不作 讨 论 , 本 文 计算 工 作 是 以 三 维 有 限 元程序 G J P 1 为 基 础 18 , 。 计 算 出 区 域 的 初 始 应 力场 , 尚有 待 进 一 步 系统 研究 , 。 然 后进 行 开 挖 卸 荷 分 析 , , 这将 大 大 简 化 网 格 从而 节 省机 时 和 经 费 , 这 种 求 初始 应力 场 的 方 法 已 不适 用 , 。 计 算 范 围 可 以取 得 比 较 小 , 并 同时 考 虑 材 料 自 重 、 根 据弹 性 理 论 解 , 。 许 多岩 土 工 程 问题 都 要首 先 确 定 初 始 应 力 场 , 不 同衰 减 函 , 通常 坐 标 原 点 大 多定 在 问题 的 少L何 中 心 或 等 效 合 。 减 少 用 于 模 拟 人 们 关 心的 区 域 以 外 的 结点 自 由度 5 但 严 格 地说 。 因 此 衰减 函 数 取 在 这 里 也是 合 理 的 : 。 计 算 精 度 都 高 于 通常 有限 可 采取 与 弹性 理 论 中 相 近 问题 相 类 比 的 办 法 , . 。 。 行 之 有效 的 好 方 法 衰 减 函 数 的 形 式 与理 论 解 位 移 函 数 形 式 相 一 致 为最 算例揭 示 , 衰减 函 数 的 影响 不 大 3 衰减 中心 取坐 标 原点 可 使 计 算简 捷 4 算 例也表 明 午 (午 ) “ , 或 节理 无 界 。 恰 当 地 选择 满 足 无 界 元 要 求 的 衰减 函 数 力作 用点 、 确是 一 举两 得 , 、 , 对 J 具 体 的 问题 。 因 此在 有限 元分 析 程 序 中纳 人 无 界元 对 于 工 程 问题 l 一 , 、 。 一 , o f a N u 皿 e r ie a l J o in t E le m e n t a n d a n d It : A p p li e a t io n i n 三R o c k A n a l了t ie a l M e th o d , in e , G e o m o e ha n 呈 . G J P l 含 节 理 的 三维弹 性 静力程 序 一 — , 岩 上 力学 , 19 8 3年 第 4 大 型 稀 疏 对 称线 性 代 数方 程 组 的 一 种有效 解 法 , 期 。 岩土力 学 , , 者 20 程 工 土 1 9 56年 报 学 T h re e d im e n s io n a 曰 n fin it e D o m a in E le m e n t s 一 Jo in t In fin it e D o m 扭in E le m e n ts an d G e X ‘“r u n ( In s t itu t e o G u X ia n r o n g , d F e n s D in g x i a n g d 5 0 11 M e e ll a n 全e s A e a d e m ia S in ie a a n f R o ek a n W , han u C h in a ) , J A bs t r a e t A m o d e l e o n , is t in g d o m a in e le m o n d im e n s i o n a l a , s o e ia t e d fu n e t io n a n t, d th e p r o b le m w it h t l ie a n d t he a PP dee a y n o de m P le te On ter the , e i n fin i t e , et o o , 0 o n s P e e ia l e le m e n e o n : id e r a t io n , o n ly a T hu s it la t io n r e g io n la t io n a e e u r 盆e y , an li m i t e d eo m e, d bo u n d a r y e eo n o 皿y o r a , eo n a n d an the ev en , d i, e u : : e d ts in to th e in fin i t e ll : m a a a n p r o b le m b o u n da ry e ff e e t iv e d it io n , 一 n o do p le , e x a m a r e the w it h le u la t i o n so rt a n d in fin it y ea t h i, a ee u r a ey o f d 10 a n o f g e o m e e h a n ie a l e n g in e e r in g f u l川 m e n t le m e n t , jo in t in fin i t e p r o b le r n , th o , u e h , a , th e d e e a y , th e , e la e a : e P r e : e n t e d in t h i , P a P e r fo r t h r e e u tl ie f f e le 血 e n t , d a n d o 皿 a 至n fo r m o f t h e b a s is I呈e a t io n ee n o f 一 o f a n a ly : i: la t io n f 12 eo . e, T h e in t r o d u e t io n FE o a . d it io n , le u la t io n PPr o a e h to d ha , e f fe e t iv e n e 弓, e a e o n le a d , , t he o r to o f o e 扭 i一 i n f in a sa t i , fa e t o r y z e r o r e g io n a d v a n ta g e ea le u d i s p la e e m e n t b e in g d e t e r 皿 in a t i o n a p p ar e n t it e d o m a in ta k e n a - t i n to o f t he ea le u - in t he e a le u -