609-《数学分析》.doc

609 数学分析考试内容范围 1． 实数集与函数：实数及其性质，绝对值与不等式，区间与邻域，有界集与确 界原理，函数的定义、表示及四则运算，复合函数，反函数，初等函数，有 界函数，单调函数，奇函数和偶函数，周期函数； 2． 数列的极限：函数的极限的概念、性质和存在的条件； 3． 函数的极限：函数的极限的概念、性质和存在的条件，两个重要极限，无穷 大量与无穷小量的概念、阶的比较，曲线的渐近线； 4． 函数的连续性：函数的连续性的概念、性质，初等函数的连续性； 5． 导数和微分：导数的概念，求导法则，参变量函数的导数，高阶导数，微分 的概念、运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用； 6． 微分中值定理及其应用：拉格朗日中值定理和函数的单调性，柯西中值定理 和不定式极限，带有佩亚诺余项的泰勒公式、带有拉格朗日型余项的泰勒公 式及在近似计算中的应用，函数的极值与最值，函数的凸性与拐点，函数的 图象； 7． 实数的完备性：区间套定理与柯西收敛准则，聚点定理与有限覆盖定理，闭 区间上连续函数性质的证明； 8． 不定积分：不定积分的概念与基本积分公式，不定积分换元积分法与分步积 分法，有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的 不定积分； 9． 定积分：定积分的概念，牛顿——莱布尼兹公式，可积的条件，定积分的的 基本性质，积分中值定理，变限积分与原函数的存在性，定积分的换元积分 法与分步积分法，泰勒公式的积分型余项； 10. 定积分的应用：平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长 与曲率，旋转曲面的面积，液体静压力、引力、功与平均功率的计算； 11．反常积分：反常积分的概念，无穷积分的性质与收敛判别，瑕积分的性质 与收敛判别； 12．数项级数：级数的收敛性，正项级数收敛性的一般判别原则，比式判别法、 根式判别法和积分判别法，交错级数，绝对收敛级数及性质，阿贝尔判别法 和狄利克雷判别法； 13．函数列与函数项级数：函数列及其一致收敛性，函数项级数及其一致收敛 性，函数项级数一致收敛性判别法，一致收敛性函数列与函数项级数的性质； 14．幂级数：幂级数的收敛区间、性质及运算，泰勒级数，初等函数的幂级数 展开式； 15．傅立叶级数：三角级数，正交函数系，以 2 p 为周期的傅立叶级数，以 2 l 为周期的傅立叶级数，奇函数和偶函数的傅立叶级数，收敛定理及证明； 16．多元函数的极限与连续：平面点集，R2 上的完备性定理，二元函数，n 元 函数，二元函数的极限，累次极限，二元函数的连续性概念，有界闭域上连 续函数的性质； 17．多元函数微分学：可微性与全微分，偏导数，可微性的条件、几何意义及 应用，复合函数的求导法则，复合函数的全微分，方向导数与梯度，高阶偏 导数，中值定理与泰勒公式，极值问题； 18．隐函数定理及其应用：隐函数的概念、存在条件，隐函数定理，隐函数求 导，隐函数组的概念，隐函数组定理，反函数组与坐标变换，平面曲线的切 线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值； 19．含参量积分：含参量正常积分，含参量反常积分的一致收敛性及其判别法， 含参量反常积分的性质，欧拉积分； 20．曲线积分：第一型曲线积分的定义与计算，第二型曲线积分的定义与计算； 两类曲线积分的联系； 21．重积分：二重积分的定义、存在性及性质，直角坐标系下二重积分的计算， 格林公式，曲线积分与路线无关性，二重积分的变量变换公式，极坐标系下 二重积分的计算，三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分换元 法，曲面的面积、重心、转动惯量及引力的计算； 22．曲面积分：第一型曲面积分的定义与计算，第二型曲面积分的定义与计算； 两类曲面积分的联系，高斯公式与斯托克斯公式。 本课程参考教材：《数学分析》（第三版）（上、下册），华东师范大学数学系编。